Определить наращенную сумму с ежеквартальным начислением. Определение наращенной суммы с помощью сложных процентов. Определяем Срок долга

Дисконтирование

Современная стоимость (Возвращаемая сумма)

Процентная ставка

Рис. 6. Логика финансовых операций

Математическое дисконтирование

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i ? Решив уравнение (1) относительно P , находим:

(12)

Установленная таким путем величина P является современной величиной суммы S , которая будет выплачена через n лет. Выражение 1/(1 + n∙i ) называется дисконтным множителем , который показывает современную стоимость одной денежной единицы.

Разность (S – P ) можно рассматривать не только как проценты, начисляемые на P , но и как дисконт суммы S . Обозначим последний через D . Дисконт, как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.

Рассмотрим примеры.

Пример 8.

Через год владелец векселя, выданного коммерческим банком, должен получить по нему 220 тыс. руб. Какая сумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если годовая ставка составляет 12%?

Дано: Решение:

S = 220 т.р. Представим задачу графически

n = 1 год

i = 12%; n = 1 г.

S = 120т.р.

дисконтирование

Используя выражение (12) получим:
тыс. руб.

Пример 9.

Ссуда должна быть погашена через год в сумме 200 тыс. руб. Кредитор попросил погасить ссуду через 270 дней после выдачи под 10% годовых. Какую сумму получит кредитор? К = 365 дн.

Дано: Решение:

S = 200 тыс. руб. Изобразим задачу графически:

n = 1г.

n 1 = 270 дн.

i = 10%

n = 365-270

S = 200т.р.

дисконтирование

n 1 = 270

n 0 = 95 дн.

n = 365

Находим количество дней, оставшихся до погашения ссуды:

n 0 = n – n 1 = 365 – 270 = 95 (дн.)

Используя выражение (12) находим:

(тыс. руб.)

Банковский или коммерческий учет (учет векселей)

При учете векселя применяется банковский учет. Согласно этому методу проценты за использование ссуды в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d . (рис. 7)

Р дисконтирование (учет) S

Рис. 7

Дисконтирование с использованием простой учетной ставки

Расчетная формула для вычисления этих процентов выводится на основе следующих рассуждений.

Пусть с 1 руб. берется годовая учетная (дисконтная, авансовая) ставка d , тогда должник получает на руки сумму (1- d ) и по истечении срока должен вернуть 1 руб. То есть, если 1 руб. – это возвращаемая сумма S , то первоначальная сумма будет равна: P = S – d (при условии что срок равен одному году), или в нашем случае, P = 1 – d . Если значение S , Р и n – произвольны, то

P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d ), (13)

где S∙n∙d – величина дисконта, а n – срок от момента учета до даты погашения векселя. Величина (1 – n∙d ) называется дисконтным множителем при использовании учетной процентной ставки. Учет посредством учетной ставки осуществляется чаще всего при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды берется точное (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды).

Для уяснения практического приложения рассмотрим дисконтный вексель. Используя номинал векселя (S ) , учетную ставку (d ) , время, оставшееся до срока погашения (t ) , вычитают дисконт (D ) – скидку с номинала, т.е. разницу между S и Р .

Затем рассчитывают выкупную (фактурную) стоимость векселя до срока погашения

(13а)

Рассмотрим пример:

Пример 10.

Владелец векселя номиналом 100 тыс. руб. и периодом обращения 105 дн., за 15 дн. до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке 20%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.

Дано: Решение:

S = 100 тыс. руб. Изобразим задачу графически:

Пер. обращение – 105 дн.

n = 15 дн.

Р - ? S = 100

n = 15 дн.

Используя выражение (13а) получим:

(тыс. руб.)

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещается начисление процентов по ставке наращения i и дисконтирование по учетной ставке d . В этом случае, полученная при учете сумма определиться как:

P` = P ∙ (1 + n ∙ i ) ∙ (1 – n` ∙ d ) (14)

S `

где P ( S ) – номинальная сумма; n – общий срок платежного обязательства; n ` - срок от момента учета до даты погашения платежа; Р` - сумма, полученная при учете обязательства.

Пример 11.

Долговое обязательство, предусматривающее уплату 400 тыс. руб. с начисленными на них 12% годовых, подлежит погашению через 90 дн. Владелец обязательства (кредитор) учел его в банке за 15 дн. до наступления срока по учетной ставке 13,5%. Полученная сумма после учета составила:

Дано: Решение:

S = 400 тыс. руб. В этой задаче номинальная стоимость

n = 90 дн. (возвращаемая сумма) принимается за

n ` = 15 дн. первоначальную: S = P (см. график).

d = 13,5%

P (S ) =400 т.р. S `

i = 12%; n = 90 дн.

d = 13,5%; n ` = 15дн.

дисконтирование

P ` -?

1. Вначале определяем наращенную сумму обязательства S ` , принимая его номинальную стоимость за первоначальную сумму:

(тыс. руб.)

2. Находим полученную после учета сумму:

(тыс. руб.)

3. Используя выражение (14) получаем ту же сумму:

(тыс. руб.)

Необходимость использования простой учетной ставки для расчета наращенной суммы возникает в случае определения номинальной стоимости векселя при выдаче ссуды. В этом случае сумма долга, проставленная в векселе, будет равна

(15)

Величина 1/(1-n ∙ d ) в этом случае является множителем наращения при использовании простой учетной ставки.

Пример 12.

Предприниматель обратился в банк за ссудой в размере 200 тыс. руб. на срок 55 дней. Банк согласен выдать указанную сумму при условии начисления процентов по простой учетной ставке, равной 20%. Найти возвращаемую сумму.

Дано: Решение:

Р = 200 тыс. руб. В этой задаче наращение производится

n = 55 дн. по простой учетной ставке.

Р = 200 S - ?

наращение

d = 20; n = 55 дн.

Используя выражение (15) получим:

тыс. руб.

Если бы сумма выдавалась под простую процентную ставку ( i ) , то наращенная сумма была бы равна тыс.руб . , т.е. наращение по учетной ставке идет быстрее и она менее выгодна должнику 206,111 < 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формулам:

, (16)

, (17)

где n –срок ссуды в годах; t – срок ссуды в днях; k – временная база.

Рассмотрим пример:

Пример 13.

Фирме необходим кредит в 500 тыс. руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возвращен в размере 600 тыс. руб. Учетная ставка 21% годовых. На какой срок банк предоставит кредит фирме? К = 365 дней

Дано: Решение:

S = 600 тыс. руб. Графическая иллюстрация задачи

Р = 500 тыс. руб.

Р = 500 т.р. S = 600 т.р.

d = 20%; n - ?

дисконтирование

При решении подобного рода задач проще воспользоваться выражением (17) , тогда срок кредита сразу получится в днях (при использовании выражения (16) срок будет выражен в долях года):

(дн.)

Величина учетной ставки рассчитывается по формулам:

, (18)

. (19)

Пример 14.

Контракт на получение ссуды в 500 тыс. руб. предусматривает возврат долга через 300 дней в сумме 600 тыс. руб. Определим примененную банком учетную ставку. К = 365 дней.

Дано: Решение:

Р = 500 тыс. руб.

S = 600 тыс. руб.

t = 300 дней

Р = 500 т.р. дисконтирование S = 600 т.р.

d = ? t = 300 дн.

По формуле (19) получим:
или d = 20,27%

При операциях с дисконтными финансовыми инструментами учетная ставка иногда может задаваться неявно: в виде общей относительной доли уменьшения номинала или как отношение дисконтированной суммы к номиналу; тогда d находится как или

(20)

где d ` - процент скидки; t – срок до учета (срок векселя).

Пример 15.

Размер удерживаемых процентов при выдаче полугодовой ссуды составляет 20% суммы ссуды. Определим заложенную учетную ставку процентов (дисконтную ставку). К = 365

Дано: Решение:

d ` = 20%

t = 0,5 г.(180 дн.)

К = 365 дн.

d - ?

Пример 16.

Государственные краткосрочные трехмесячные векселя котируются по курсу 90. Вычислим учетную ставку. К =360.

Дано: Решение:

P / S = 0,9 скидка в нашем случае: 1 – 0,9 = 0,1

d - ? тогда:

Пример 1.2 Пенсионер положил 3000 руб. на срочный пенсионный вклад на полгода под 14% годовых. Какая сумма у него накопится в конце срока, и какой процент он сможет снять? Каков коэффициент наращения?

Решение . Поскольку пенсионер отдал свои деньги банку, то первоначальная сумма отрицательна; m =2, так как начисления - раз в полгода.

FV = -(-3000)(1+0,14/2)=3210 руб.

I= FV- PV=210 руб.

К=1+0,14/2=1,07

По формулам (1.2)-(1.5) можно решить обратную задачу : какую первоначальную сумму PV нужно дать в долг или положить в банк, чтобы по истечении срока получить сумму FV при заданной годовой процентной ставке r:

Пример 1.3 Через 180 дней после подписания договора фирма обязуется уплатить 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма кредита?

Решение . В конце срока фирма должна вернуть деньги, следовательно, будущая сумма - отрицательная величина, а первоначальная - положительная. Из (1.5)

1.3 Сложные проценты

1.3.1 Формула сложных процентов

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию , таким образом, базовая сумма, с которой происходят начисления, постоянно растет. Сложные проценты применяются в среднесрочных и долгосрочных финансовых операциях, то есть срок операции составляет несколько периодов начисления процентов.

Пусть Вы положили в банк срочный вклад в сумме PV на k лет под годовую процентную ставку r. Число периодов начисления процентов в году m .Тогда в соответствии с формулой (1.4) к концу первого периода, т.е. после первого начисления процентов, у Вас окажется сумма FV, определяемая соотношением

FV + PV (1+)= 0.

Если Вы не забрали причитающиеся Вам проценты, то к началу нового периода первоначальная сумма составит уже PV(1+r/m), а к концу второго периода на нее снова нарастут проценты и Ваша сумма вклада будет определяться из соотношения

К концу года Ваш вклад будет равен

Сумма, накопленная Вами в банке через k лет при годовой ставке r и начислениях процентов m раз в году, составит

(1.6)

Эквивалентное уравнение (1.6) называют формулой сложных процентов .

Из уравнений (1.4) - (1.6) можно определить одну из величин:

FV - будущую сумму;

PV - текущую сумму;

r - номинальную процентную ставку;

t или k - срок сделки в днях или годах,

выразив их через остальные известные величины.

1.3.2 Определение будущей суммы

От продажи родительского дома у Вас оказалось 50 тыс. руб. Вы знаете, что в течение 5 лет Вам эти деньги не понадобятся, и Вы решили открыть счет в банке. Годовая ставка банка 12%. Банк предлагает следующие виды вкладов:

с ежемесячным начислением процентов;

с ежеквартальным начислением процентов;

депозит на 6 месяцев;

депозит на 12 месяцев.

Какой из вкладов принесет больший доход через 5 лет?

Решение . Воспользуемся формулой (1.6). В нашем примере PV= -50 000, r =0,12, k =5.

В первом случае m =12 и

90834,83 руб.

Во втором - m =4 и

90305,56 руб.

В третьем случае - m =2 и

89542,38 руб.

В последнем варианте - m =1 и

88117,08 руб.

Очевидно, что во всех случаях банк вносит немалую лепту (больше 38 тыс. руб.) в Ваш будущий вклад.

Как видно из примера, чем меньше период начисления процентов при той же годовой процентной ставке, тем выгоднее вклад.

ВАРИАНТ 9

РЕШЕНИЕ.

n - срок ссуды.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

FV=2000+300=2300 руб.

РЕШЕНИЕ.

Множитель наращения: .

РЕШЕНИЕ.

S = P (1 + n∙i),

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

РЕШЕНИЕ.

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

РЕШЕНИЕ.

РЕШЕНИЕ .

Ответ: 2109 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем дисконтированный множитель:

Рассчитаем дисконт по точным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000*1/(1+0,3)*120/365=50580руб.

Рассчитаем дисконт по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000-200000*(1+0,3*120/365)= 19726 руб.

Ответ: 50580 руб., 19726 руб.

Задача 3.2.2. Определить сумму, которую необходимо положить в банк, чтобы при начислении на нее процентов по сложной процентной ставке – 30% годовых, получить через 3 года наращенную сумму в размере 200000 р., а также сумму дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

где d c - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

Р=200000*(1-0,3) 3 =68600 руб.

D=200000-68600=131400 руб.

Ответ: 131400 руб.

Задача 3.2.3. Вексель выдан на 200000 р. с уплатой 20.09. Владелец векселя учел его в банке 120 дней по учетной процентной ставке – 30 %. Определить сумму, которую получит держатель векселя, если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды, а также суммы дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Учетная ставка рассчитывается отношением наращения (F-P) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F.

Определим сумму, которую получит держатель векселя по формулам:

Где P-

d- простаяучетная ставка;

t -

Т- количество дней в году.

а) если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/365*0,3)=221884 руб.

Сумма дисконта:

D=221884-200000=21884 руб.

б) если проценты начисляются обыкновенные с приближенным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/360*0,3)= 222222 руб.

Сумма дисконта:

D=222222-200000=22222 руб.

Ответ: 221884 руб., 21884 руб., 222222руб.,22222 руб.

Задача 3.2.4. Предприятие предоставило покупателю отсрочку платежа сроком на 3 года и учло платежное обязательство на сумму 200000 р. в банке по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую получит на руки держатель платежного обязательства.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем сумму, которую получит держатель платежного обязательства по формуле:

Где P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);

F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n- количество периодов продолжительности финансовой операции;

d- простаяучетная ставка;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т- количество дней в году.

Р=200000*(1-0,3*3*365/365)=20000 руб.

Ответ: 20000 руб.

РЕШЕНИЕ.

При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

Где S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;

t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;

K – количество дней в календарном году (365 или 366);

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Рассчитаем количество дней начисления процентов:

50000=2000+(2000*0,3t)

Ответ:80 дней.

Задача 3.3.2. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Формула для расчета наращенной суммы вклада по методу простых процентов имеет вид:

К н =К о *(1+р*n),

Где К н -наращенная сумма по вкладу;

К о -первоначальная сумма вклада;

р-проценты по вкладу;

n- количество лет начисления процентов.

Рассчитаем количество лет начисления процентов:

50000=2000*(1+0,3*n)

Ответ: 80 дней

Задача 3.3.3. Первоначальная сумма в размере 2000 р. будет вложена на депозитный счет под 30 % годовых. Определить через какой срок наращенная стоимость этой первоначальной суммы составит 50000 р.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма рассчитывается используя формулу:

где Р – сумма вклада;

i – процентная ставка;

d – количество дней.

Рассчитаем срок вклада:

50000=2000*0,3*d

Ответ: 83 дня.

Задача 3.3.4. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Определим доход:

I= 50000 – 2000=48000руб.

S - наращенный капитал

P - первоначальный капитал

Теперь определим срок вклада:

d=100*48000/(30*2000)=80 дней

Ответ: 80 дней.

3.4. Определение наращенной и дисконтированной стоимости финансовой ренты (аннуитета).

Задача 3.4.1. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в конце каждого года платеж в размере 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4 года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

Расчет наращенной суммы выполним по формуле:

F = P*(1 + n * d)

F =2000*(1+0,3*4*365/365) =4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.4.2. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в начале каждого года 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

i – годовая процентная ставка;

S = 2000* (1 + 0,3 * 3*365/365) = 3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

Задача 3.4.3.Страховая компания заключает договор с предприятием на 4 года. Страховые взносы предприятия в размере 2000 р. страховая компания помещает в банк под 30% годовых с полугодовой капитализацией. Определить сумму, которую получит страховая компания.

РЕШЕНИЕ.

Вычисления произведем по следующей формуле:

где S – наращенная стоимость кредита;

P – настоящая стоимость кредита;

i – годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов в годах.

S = 2000* (1 + 0,3 * 0,5*4*365/365) = 3200 руб.

Ответ: 3200 руб.

Задача 3.4.4. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в конце каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

S = P*
,

где

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 3)= 5831 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=5831-2000=3831 руб.

Ответ: 3831 руб.

Задача 3.4.5. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в начале каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

Таким образом, в общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:

S = P*
,

где
- коэффициент наращения при вычислении сложных процентов;

d – учетная ставка сложных процентов;

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 2)= 4082 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=4082-2000=2082 руб.

Ответ: 2082 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Предположим, что создание погасительного фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по ставке g. При начислении на величину долга простых процентов срочная уплата будет равна:

где -срочная уплата в период t;

D- величина долга.

При начислении на величину долга сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле:

где - процентный платеж, исчисленный по сложным процентам.

Величину для расчетного периода вычисляют по формуле:

g - процентная ставка, начисляемая на основной долг.

Подставив значение получим:

200000=(1+0,26) 2 *0,26/R

200000=1,58*0,26/R

0,26/R=126582 руб.

Ответ: 32911 руб.

Задача 3.5.6. Определить размер ежегодного платежа, вносимого в начале года в течение трех лет, для формирования страхового фонда в размере 200000 р., если размер сложной процентной ставки – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

200000=(1+0,3) 3 *0,3/R

200000=2,197*0,3/R

R=131820 руб.

Ответ: 131820 руб.

Задача 3.5.7. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в конце года.

РЕШЕНИЕ.

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 4)=924 руб.

Ответ: 924 руб.

Задача 3.5.8. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в начале года.

РЕШЕНИЕ.

Размер ежегодных погасительных платежей:

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 3)=1101 руб.

Ответ: 1101 руб.

Задача 3.5.9. Предприятие ежегодно в конце года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*n)

Ответ: 38 дней.

Задача 3.5.10 Предприятие ежегодно в начале года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Ссудная процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*(n-1))

Ответ: 37дней.

Задача 3.5.11. Предприятие планирует взять кредит в размере 1000000 р. под годовую процентную ставку равную 30 %. Ежегодный платеж в конце года составит 20000 р. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой будет возвращена вся сумма кредита.

РЕШЕНИЕ.

Поскольку проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо- это обычная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

FVA=R*((1+i*n)-1)/i

1000000=20000*((1+0,3*n)-1)/0,3

Ответ: 50 дней.

ВАРИАНТ 9

Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов.

Задача 3.1.1. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма в размере 2000 р. была помещена на депозитный счет на период 0,5 лет под 30 % годовых. Наращение осуществляется по простой ссудной процентной ставке.

РЕШЕНИЕ.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:

I - проценты за весь срок ссуды;

РV - первоначальная сумма долга;

FV - наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i - ставка наращения процентов (десятичная дробь);

n - срок ссуды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку.

Соответственно каждый год приносит проценты в сумме: Pv×i.

Начисленные за весь срок проценты составят: I = PV×ni.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

Наращенная сумма, таким образом, находится по формуле:

FV = РV + I = РV + PV×ni = РV(1 + ni).

FV=2000+300=2300 руб.

Ответ: Наращенная сумма составляет 2300 руб.

Задача 3.1.2. Определить наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя, если ссуда выдается на 0,5 лет в размере 2000 р. Наращение осуществляется по простым процентам по учетной ставке ‒ 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга:

Множитель наращения: .

S=2000*1/(1-0,5*0,3)= 2353 руб.

Ответ: Наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя равна 2353 руб.

Задача 3.1.3. Кредит в размере 2000 р. выдан с 22.03 по 14.11. включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

В нашем случае для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S:

S = P (1 + n∙i),

где 1 + n∙i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest).

В нашем случае срок финансового соглашения n измеряется не в годах, а в днях t, то в (1) в качестве n следует взять, где K - так называемая временная база, т.е. число дней в году, K =360,365(366).

Если временная база K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в формуле используют обыкновенные, или коммерческие проценты.

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант
(K = 365(366)) дает самые точные результаты.

S = 2000*(1+0,3*238/365) =2391 руб.

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод (K = 360), иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков. Он дает несколько больший результат, чем предыдущий метод.

S = 2000*(1+0,3*238/360) = 2397 руб.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 2000*(1+0,3*235/360) =2392 руб.

Ответ: 2391 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.4. Кредит в размере 2000 р. выдан 22.03 по 14.11 включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

При расчете обычно полагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К = 360 дней, проценты называются обыкновенными. В этом случае формула примет вид:

При использовании действительной продолжительности года 365(366) получают точные проценты и в этом случае формула примет вид:

а) Точные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/365*0,3)= 2391 руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/360*0,3)=2397 руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S=2000*(1+235/360*0,3)=2392 руб.

Ответ: 23945 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.5. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Определить наращенную сумму по сложным процентам через 4 года.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

S = 2000*(1 + 0,3) 4 = 5712 руб.

Ответ: Наращенная сумма по сложным процентам составит 5712 руб.

Задача 3.1.6. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была выдана в долг на 4 года. Определить наращенную сумму, которая должна быть возвращена через 4. года, если начисление процентов осуществляет по учетной ставке 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма, которая должна быть возвращена через 4 года:

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.1.7. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена на депозитный вклад 1 апреля на квартал под 30% годовых. Согласно условиям контракта предусмотрено ежедневное начисление простых процентов. Определить наращенную сумму, используя начисление точных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

Простые проценты считаются по такой формуле:

а) расчет наращенной суммы по точным процентам с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/365)=2148 руб.

б) Расчет обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/360)=2150 руб.

в) расчет обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*80/360)=2133 руб.

Ответ: 2148 руб., 2150 руб., 2133 руб.

Задача 3.1.8. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Согласно контракту предусмотрено ежедневное начисление сложных процентов. Определить наращенную сумму через 4 года.

РЕШЕНИЕ .

Расчет сложных процентов производится по следующей формуле:

Для вкладов со сложным процентом важной часть является периодичность начисления процентов.

В=2000*(1+0,3/90) 16 =2109 руб.

Ответ: 2109 руб.

Задача 3.1.9. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый квартал ‒ 30 % годовых; в каждом следующем квартале ставка повышается на 0,4%. Определить наращенную сумму, если контракт подписан на одни год, а первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,4*0,34 + 0,4*0,38 + 0,4*0,42 = 1,756 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,756 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

Задача 3.1.10. Контракт подписан на 4 года и предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: 1 год ‒ 30 % годовых; в каждом последующем полугодии процентная ставка увеличивается на 0,05%. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,5*0,35 + 0,5*0,4 + 0,5*0,45 =1,9 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,9 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения

Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:

В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.

Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:

Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).

Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем

Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем

В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.

Если срок наращения меньше года, то

Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и

Графически такая ситуация показана на рис.

т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:

Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:

Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.

При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем

Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:

Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям

Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем

Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем

Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:

Раздел 1 "Сумма налога (сумма авансового платежа по налогу), подлежащая уплате в бюджет по данным налогоплательщика"

Формулы наращенной суммы

Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.

1. Обычная годовая рента.

Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины так как на сумму R проценты начислялись в течение(п - 1) года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются.

Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

в которой первый член равен R , знаменатель (1+ i ), число членов п. Эта сумма равна

(1)

где

(2)

называетсякоэффициентом наращения ренты . Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i .

Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i ) раз больше постнумерандо и при m = p =1

(3)

Пример 1.

Для создания пенсионного фонда в банк ежегодно выплачивается рента постнумерандо в размере 10 млн. р.. На поступающие платежи начисляются проценты по сложной годовой ставке 18%. Определить размер фонда через 6 лет.

Решение.

По формуле (1) имеем:

млн. р.

Ответ. Пенсионный фонд через 6 лет будет составлять 99,42 млн. р.

2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

Пусть платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j / m , где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то получимгеометрическую прогрессию, первый членом которой R, знаменатель (1+ j / m ) m , число членов п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна

(4)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле

(5)

Пример 2.

В условиях примера 1 принять, что проценты банком начисляются ежеквартально по номинальной ставке 18% годовых. Сделать вывод, какой вариант начисления процентов выгоден кредитору.

Решение.

По формуле (4) имеем

= 97, 45 млн. р.

Ответ. Кредитору выгоден вариант примера 2.2., чтобы на ренту начислялись проценты ежеквартально, при этом размер фонда будет составлять 97,45 млн. р.

3. Рента p -срочная, m = 1.

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.

Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R / p . Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

у которой первый член R / p , знаменатель (1+ i ) 1/ p , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

(6)

где

(7)

коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(8)

Пример 3.

Господин Иванов вносит в банк в конце каждого месяца по 500 р.. На поступающие суммы платежей начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке22%. Определить размер начисленной суммы через 8 лет.

Решение.

По форомуле (6) найдем размер начисленной суммы:

S = 500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 тыс. р.

Ответ. Размер начисленной банком суммы господину Иванову через 8 лет составит 52,806 тыс. р.

4. Рента p -срочная, р = т.

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т . Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем

(9)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(10)

Пример 4.

Господин Петров должен отдать долг в размере 200 тыс. р. Для того, чтобы собрать эту сумму он планирует в течение 3-х лет в конце каждого полгода вносить в банк одну и ту же сумму и на нее каждые полгода начисляются сложные проценты по годовой ставке 15%. Какова должна быть величина вносимых господином Петровым полугодовых вкладов при полугодовом начислении процентов?Рассмотреть случай, когда в банк вносится сумма один раз в конце каждого года и начисление процентов производится по той же сложной процентной ставке.

Решение.

Из(9) найдем сумму (R ), которую необходимо вносить в банк каждые полгодапри полугодовом начислении сложных процентов:

R = S j / [ (1 + j/m ) mn - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 тыс. р.

Из формулы (1) найдем сумму, которую необходимо вносить в банк каждый год при годовом начислении сложных процентов:

R = S j / [ (1 + j ) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 тыс. р.

Ответ. Господину Петрову необходимо вносить в банк каждые полгода иполугодовом начислении сложных процентов сумму, равную 55,228 тыс. р. и сумму в 57,692 тыс. р. при ежегодном вкладе и годовом начислении сложных процентов. Первый вариант вклада для него более выгоден.

5. Рента р -срочная, p ³ 1 , m ³ 1.

Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно р ¹ т.

Первый член ренты R / p , уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

Число членов п p . В результате получаем наращенную сумму

(11)

Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по формуле:

(12)

Пример 5.

Предприятие создает страховой фонд, для чего направляет в банк платежи в размере 100 тыс. р. в конце каждых 4-х месяцев, начислениесложных процентов банк производит 1 раз в полгода по годовой ставке 18%. Определить размер страхового фонда через 10 лет.

Решение.

По формуле (11) найдем:

тыс.руб.

Ответ. Размер страхового фонда предприятия через 10 лет составит 7790,86тыс.р.